Аксиомы 1) — 4) в этом случае выполняются. Имеется удобный ортонормированный базис:
Общий случай произвольного евклидова пространства L фактически сводится к тем же формулам. Действительно, пусть e1, e2, ..., en — какой-нибудь ортонормированный базис в L. Любые x, y ∈ L можно разложить по базису:
Теперь, пользуясь аксиомами скалярного произведения, легко вычислить:
Теорема 8. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство проведём с помощью так называемого процесса ортогонализации. Возьмём любой базис в L: v1, V2,..., vn. Изменяя элементы Vi, построим ортогональный базис e1, e2,..., en следующим образом.
Первый вектор не изменяем: e1 = V1.
Второй вектор ищем в виде ..., чтобы (e1, e2) = 0:
Аналогично ищем e3:
Продолжая этот процесс, получим систему попарно ортогональных векторов e1,e2,...,en. Они образуют базис, так как из ортогональности следует линейная независимость. Действительно, если
|