|
то умножим это равенство скалярно и получим: ..., отсюда ...
Для превращения e1,e2,...,en в ортонормированный базис нужно
нормировать ei, т. е. заменить каждый вектор ei на единичный
вектор.
7.5.2. Ортогональные матрицы
Квадратная матрица Q называется ортогональной, если QTQ = E. Как мы увидим дальше, ортогональные матрицы задают такие преобразования пространства, которые не изменяют форму геометрических фигур. Поэтому мы должны изучить их свойства подробно.
Свойство 1. Определитель ортогональной матрицы равен ±1, в частности, такая матрица невырождена.
Доказательство. Так как QTQ = E, то |QT| |Q| = |Q|2 = 1. Значит,
|Q| = ±1.
Свойство 2. Обратная к ортогональной матрица тоже ортогональна.
Доказательство. Пусть QTQ = E или, что то же самое, Q—1 = QT. Транспонируя обе части, получим: ..., что и означает ортогональность матрицы.
Свойство 3. Произведение ортогональных матриц — ортогональная матрица.
Доказательство. Пусть Q1, Q2 — ортогональные матрицы. Так как
... (см. лемму в 7.1), ..., что и требовалось.
Свойство 4. Матрица Q ортогональна ⇔ сумма квадратов элементов любой строки равна 1, сумма произведений соответствующих элементов любых разных строк равна 0. Аналогичное свойство справедливо и для столбцов.
Доказательство следует из определения и правила умножения матриц. Записывая равенство QTQ = E подробно, например, для матриц 2-го порядка получим:
откуда и следуют требуемые соотношения.
Свойство 5. Матрица Q ортогональна ⇔ линейная замена переменных X = YQ преобразует сумму квадратов (т. е. квадратичную форму) снова в сумму квадратов (т. е. в форму
|
