|
Доказательство. Достаточно вспомнить правило преобразования матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных: матрица A преобразуется в матрицу QAQT. Если A = E, (т. е. квадратичная форма является суммой квадратов), то и QAQT = QQT = E.
Пример 10. Матрица ... при любом ... является ортогональной. Действительно, ...
Теорема 9. Пусть e1, e2,..., en и ... — ортонормированные
базисы в евклидовом пространстве L. Тогда матрица перехода от одного
из них к другому ортогональна.
Доказательство проведём для трёхмерного пространства. Разложим
векторы по базису e1, e2, e3:
Тогда матрица Q — матрица перехода. Так как ... — ортонормированный базис, то ... Подставим в каждое из
этих соотношений разложение ei,ej по базису e1,e2,e3 и вычислим:
Продолжая аналогичные вычисления, получим все соотношения, которые, по свойству 4, могут быть только у ортогональной матрицы.
7.5.3. Ортогональные преобразования
Пусть L — евклидово пространство, A : L → L — линейное преобразование L (см. раздел 3.5). Преобразование A называется ортогональным, если...
Лемма. Если A ортогонально, то
|
