Доказательство. Проведём вычисления, использующие свойства линейных преобразований и скалярного произведения:
Сравнивая эти соотношения и пользуясь ортогональностью A, получим:
Теорема 10. Пусть A : L → L — линейное преобразование евклидова пространства. Следующие условия эквивалентны между собой:
1) A ортогонально;
2) ортонормированный базис A переводит снова в ортонормированный базис;
3) матрица A в ортонормированном базисе ортогональна.
Доказательство проведём для трёхмерного пространства.
Пусть A — ортогонально, e1, e2, e3 — ортонормированный базис
тоже ортонормированный базис. (Напомним: линейная независимость вытекает из ортогональности).
Обратно, пусть A переводит ортонормированный базис e1,e2,e3 в ортонормированный базис ... Тогда если ..., то A(x) = ... Следовательно,
что и требовалось доказать.
Пусть e1,e2,e3 — ортонормированный базис. Найдём матрицу A в этом базисе (см. 3.4):
Матрица A = (aij) одновременно является матрицей перехода от e1, e2, e3 к новому базису A(e1), A(e2), A(e3). Если A(e1), A(e2), A(e3) — тоже ортонормированный базис, то, по теореме 9, матрица A ортогональна.
|