|
Обратно, если A ортогональна, то, используя свойство 4, получаем: (A(e1), A(ei)) =
Продолжая аналогичные вычисления, получим:
т. е. A(e1), A(e2), A(e3) — ортонормированный базис. Теорема доказана.
Замечание. Теперь мы можем построить много примеров ортогональных преобразований. В самом деле, как мы знаем из раздела 3.4, если в пространстве выбран базис, то любая квадратная матрица A задаёт линейное преобразование.
Напомним: координатная строка A(x) получается как произведение координатной строки x на матрицу A. Теорема 10 утверждает, что если взять ортогональную матрицу A, то и преобразование A будет ортогональным.
Пример 11. Рассмотрим пространство R2 (т.е. плоскость) и матрицу... Она ортогональна (проверьте!). Значит, линейное преобразование A, которое она определяет, тоже ортогонально:
7.5.4. Симметрические преобразования
Пусть L — евклидово пространство над R, A — линейное преобразование L. Преобразование A называется симметрическим (или самосопряженным), если
|
