Пример 12. Пусть А(x) = ..., т. е. преобразование A умножает каждый элемент L на число 5. Это преобразование — симметрическое:
Теорема 11. Линейное преобразование A : L → L является симметрическим ⇔ его матрица A в ортонормированном базисе — симметрическая, т. е. AT = A.
Доказательство. Опять ограничимся случаем n = 3.
Пусть e1,e2,e3 — ортонормированный базис. Рассмотрим A(e2) = ... Здесь числа aij — коэффициенты матрицы A. Вычислим:
Аналогично:
Так как (A(e1), e2) = (e1, A(e2)), то получаем: ... В точности так же можно доказать, что ...
Дано: преобразование A имеет в ортонормированном базисе симметрическую матрицу A. Возьмём любые элементы L. Тогда
Отсюда:
Аналогично, сначала вычислив A(y), затем получим:
Раскрывая скобки в полученных выражениях и учитывая, что ..., убедимся в их совпадении:
(А(x), y) = (x, A(y)), т. е. преобразование A симметрическое. Теорема доказана.
|