|
Пример 13. В замечании после теоремы 10 мы напомнили о том, что любая матрица даёт нам пример линейного преобразования. В теореме 11 утверждается, что если взять симметрическую матрицу, то и преобразование будет симметрическим. Возьмём, например, A. Она задаёт симметрическое преобразование A пространства R2:
или, в другой записи:
Теорема 12. Характеристические числа симметрической матрицы — действительные числа.
Доказательство. Пусть A = (aij) — симметрическая матрица 3-го порядка, λ — её характеристическое число, т. е. |A — λE| = 0 (см. раздел 3.6).
Рассмотрим однородную систему уравнений:
Её определитель |A — λE| = 0, поэтому она имеет ненулевое решение (см. раздел 3.4):
Так как пока не доказано, что A — действительное число, то числа t1, t2, t3 могут быть комплексными. Подставляя эти числа в систему уравнений и перенося слагаемые с A в правую часть, получим соотношения:
Умножим первое соотношение на сопряженное число к t1, второе — на t2*, третье — на t3*. Полученные равенства сложим:
Используем свойства сопряжённых чисел (см. 6.1.3). Сумма в правой части (*) — действительное число, (так как zz ∈ R Vz ∈ C). Вычислим
|
