|
сопряжённое число для суммы в левой части:
В первом равенстве использованы свойства сопряжённых чисел и очевидные соотношения. Во втором равенстве использована симметричность. В итоге получаем, что сумма в левой части равенства (*) тоже действительное число, так как совпадает со своим сопряжённым. Находя λ из равенства (*), получим: λ ∈ R.
Теорема 13. Линейное преобразование A евклидова пространства L является симметрическим ⇔ в L существует ортонормированный базис из собственных векторов A.
План доказательства (не будем проводить подробные рассуждения. Советуем читателю повторить основные понятия и факты раздела 3.6). Утверждение доказывается просто: в базисе, составленном из собственных векторов, матрица преобразования A диагональная, а значит и симметрическая. По теореме 11, тогда и A — симметрическое.
Рассмотрим утверждение. В каком-либо ортонормированном базисе A имеет симметрическую матрицу (теорема 11). Так как её характеристические корни действительны (теорема 13), то они являются собственными значениями A (теорема 13 из раздела 3.6).
Если собственные значения различны, то собственные векторы, им соответствующие, ортогональны. Это легко доказать: пусть ... — собственные векторы A, относящиеся к собственным значениям λ1, λ2 соответственно. Тогда
Так как A симметрическое, то получаем ...
Если же собственные значения совпадают (характеристический корень кратный), то применяется процесс ортогонализации, описанный в доказательстве теоремы 8. Он позволяет заменить, например, два линейно независимых собственных вектора, соответствующих собственному значению, на два ортогональных собственных вектора.
После того как построен ортогональный базис из собственных векторов, его нужно нормировать, т. е. заменить каждый вектор b на вектор,
модуль которого равен 1.
|
