|
7.6. Приведение квадратичной формы к главным осям
Перейдём от линейных преобразований сначала к матрицам, а затем к квадратичным формам.
Теорема 14. Для любой симметрической матрицы A существует ортогональная матрица Q такая, что QAQT — диагональная.
Доказательство (для матриц 3-го порядка). Рассмотрим i, j, k — ортонормированный базис в пространстве R3. Матрица A задаёт в этом базисе симметрическое преобразование A. Пусть z1,Z2,Z3 — ортонормированный базис в R3, состоящий из собственных векторов A (такой существует по теореме 13). Матрица A в новом базисе имеет вид QAQ-1, где Q — матрица перехода от одного базиса к другому (теорема 11 из 3.5.4). Так как базис состоит из собственных векторов, то матрица QAQ-1 — диагональная.
По теореме 9 (см. 7.5.2), матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Поэтому Q — ортогональная матрица, т. е. Q-1 = QT и матрица QAQT - диагональная. Теорема доказана.
Теорема 15 (о приведении квадратичной формы к главным осям). Любую квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести к каноническому виду с помощью линейной замены переменных с ортогональной матрицей.
Доказательство. Пусть f(x1,... ,xn) — квадратичная форма с матрицей A. Так как A — симметрическая, то, по теореме 14, существует ортогональная матрица Q такая, что QAQT — диагональная. Рассмотрим линейную замену переменных с матрицей Q : X = YQ. После преобразований форма будет иметь матрицу QAQT, т. е. диагональную матрицу, что и требовалось.
Теорема 16. Если квадратичная форма f(x1,...,xn) с матрицей A приведена к каноническому виду
с помощью линейной замены переменных с ортогональной матрицей, то числа bi — характеристические корни матрицы A.
Доказательство. Пусть X = YQ — необходимая замена переменных, Q — ортогональная матрица,
Так как ..., то ... — матрица, подобная матрице A. Было доказано (теорема 12 из раздела 3.6), что характеристические корни
|
