|
подобных матриц совпадают. Но характеристические корни диагональной матрицы — это числа, стоящие на диагонали. Поэтому b1, b2,..., bn являются характеристическими корнями и матрицы A.
Сформулируем правило, по которому для квадратичной формы можно найти ортогональную замену переменных, приводящую форму к главным осям.
1) Решая характеристическое уравнение, найти характеристические числа матрицы квадратичной формы, т. е. собственные значения соответствующего симметрического преобразования.
2) Найти собственные векторы.
3) Если характеристические числа различны, то собственные векторы образуют ортогональный базис. Если есть кратные характеристические корни, то нужно выбрать ортогональные собственные векторы (применяется процесс ортогонализации).
4) Нормировать полученный ортогональный базис.
5) Искомая ортогональная матрица Q — это матрица перехода к построенному базису.
Пример 14. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму к каноническому
виду.
Решение. Будем действовать по шагам, описанным выше.
1) Составим и решим характеристическое уравнение.
Итак, канонический вид уже знаем: ...
2) Найдём собственные векторы (см. раздел 3.5).
Можно взять, например, вектор
|
