ГЛАВА 8
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА
В разделе 5.1 были сформулированы две основные задачи аналитической геометрии. Здесь мы изучим некоторые кривые на плоскости, решая первую задачу: по геометрическим свойствам кривой будем составлять её уравнение. При изучении поверхностей, наоборот, будем устанавливать их геометрические свойства, форму по известному уравнению. Кроме того, проведём исследование общего уравнения 2-й степени от 2 и 3 переменных.
8.1. Вывод уравнений эллипса, гиперболы, параболы
8.1.1. Эллипс
Эллипсом называется множество точек на плоскости, таких, что сумма расстояний от каждой до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная.
Это определение позволяет построить эллипс. Возьмём на плоскости любые 2 точки F1 и F2 — фокусы. Возьмём нитку, длина которой больше расстояния между фокусами. Концы нитки закрепим в точках F1 и F2. Затем с помощью острия карандаша натянем нитку и, удерживая её в натянутом положении, нарисуем линию на плоскости. Это и есть эллипс.
Действительно, сумма расстояний от любой точки линии до фокусов равна длине нитки, то есть постоянна.
Чтобы вывести уравнение эллипса, нужно выбрать на плоскости систему координат. В разных системах координат уравнения будут разными, выберем такую систему, чтобы уравнение имело наиболее простой вид. Ось OX проведём через фокусы F1 и F2. Середину отрезка F1F2 выберем в качестве начала координат O. Ось OY — через начало O перпендикулярно оси OX.
Если обозначить расстояние |F1 F2| = 2c, то в такой системе координат фокусы имеют координаты F1(—c, 0), F2(c, 0).
Постоянную сумму расстояний от произвольной точки
|