|
эллипса M(x,y) до фокусов (длину нитки) обозначим 2a. Тогда, по определению, 2a > 2c и |MF1| + |MF2| = 2a.
Вычисляя расстояние между точками через координаты точек, получим:
Чтобы упростить уравнение, проведём преобразования. Один из корней перенесём в другую часть равенства, затем возведём в квадрат:
После сокращений получим:
Ещё раз возведём в квадрат и проведём сокращения:
Перенесём члены с x и y в левую часть, остальные — в правую:
... или, разделив обе части уравнения на a4 — a2c2:
Так как a > c, то a2 — c2 > 0 и можно ввести обозначение: a2 — c2 = b2. Полученное уравнение:
называется каноническим уравнением эллипса.
Заметим, что из уравнения следует: если точка (x, y) лежит на эллипсе, то и точки (x, —y), (—x, y) также лежат на эллипсе. Значит, координатные оси являются осями симметрии эллипса.
Точки пересечения с осями координат называются вершинами эллипса. Пересечения с осью OX: y = 0, значит x = ±a.
Пересечения с осью OY: x = 0, значит y = ±b. Итак, вершины эллипса имеют координаты (±a, 0), (0, ±b).
Числа a, b называются полуосями эллипса. В нашем построении
Однако в случае a < b уравнение ... также будем считать
каноническим. Разница лишь в том, что фокусы эллипса расположены на оси OY.
|
