|
Пример 1. Построить эллипс, указать его фокусы.
Решение. Так как а = 2, b = 3, то а < b и фокусы находятся на оси OY. Вершины эллипса имеют координаты (2, 0), (-2, 0), (0, 3), (0, -3). Полуоси а, b и межфокусное расстояние 2c связаны в этом случае соотношением: c2 = b2 — а2. Поэтому ... Фокусы находятся в точках ...
Если полуоси эллипса равны, то c = 0, фокусы совпадают и эллипс превращается в окружность:
а — радиус.
Характеристикой «вытянутости» эллипса, отличия его от окружности, служит эксцентриситет:
Здесь c — половина межфокусного расстояния, а — большая полуось. Так
Чем ближе е к нулю, тем более
эллипс похож на окружность.
Если а — большая полуось, то прямые
называются директрисами эллипса. Свойство, связанное с директрисами, будет рассмотрено в 8.1.4.
Укажем (без доказательства) так называемое оптическое свойство эллипса: если в один из фокусов поместить источник света, то все лучи после отражения от эллипса, пройдут через второй фокус.
8.1.2. Гипербола
Гиперболой называется множество точек на плоскости, таких, что положительная разность расстояний от каждой из них до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная. Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем декартову прямоугольную систему координат так же, как и для эллипса: ось OX проведём через фокусы F1, F2, начало координат — в середине отрезка F1F2. Расстояние между F1 и F2 обозначим 2c, тогда фокусы имеют координаты: F1(—c, 0), F2(c, 0).
Постоянную положительную разность расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим 2а. Заметим, что 2c > 2а, так как длина стороны треугольника всегда больше разности длин двух других его сторон. Поэтому c > а.
|
