|
Прямые ... называются асимптотами гиперболы.
Асимптоты определяют характер гиперболы при удалении от начала координат. Можно доказать, что если точка гиперболы неограниченно удаляется от начала координат, то расстояние от неё до одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты позволяют более точно изображать гиперболу. Для этого берут прямоугольник с вершинами (а, b), (а, —b), (—а, b), (—а, —b) и проводят прямые, продолжающие его диагонали. Уравнения этих прямых: ...,
то есть это и есть асимптоты. Затем рисуют гиперболу, начиная от вершин и приближаясь к асимптоте по мере удаления от начала координат.
Пример 2. Преобразовать уравнение гиперболы
...
к каноническому виду. Найти полуоси, эксцентриситет, фокусы, уравнения асимптот и директрис. Сделать чертёж.
Решение. Группируем слагаемые, содержащие одну переменную:
Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:
Сделаем замену переменных:
Геометрически эта замена представляет собой параллельный перенос (или сдвиг) координатных осей. Начало новой системы координат находится в точке x = 4, у = —1. В новой системе гипербола имеет каноническое уравнение:
|
