|
8.2. Исследование общего уравнения 2-й степени от двух переменных
8.2.1. Геометрическое представление ортогональных преобразований
Общее уравнение 2-й степени от двух переменных имеет вид:
где хотя бы одно из чисел ... не равно 0. Наша цель — построить на плоскости такую систему координат, чтобы это уравнение имело наиболее простой вид. Это значит, что нам нужно выбрать новый базис и новое начало координат. Новый базис должен быть ортогональным (мы хотим работать в прямоугольной декартовой системе координат) и, более того, ортонормированным. Действительно, если длины базисных векторов изменятся, то изменится масштаб, и, например, эллипс может превратиться в окружность.
Линейное преобразование, которое переводит ортонормированный базис снова в ортонормированный базис является ортогональным (теорема 10 из 7.5.3). Линейная замена переменных, соответствующая переходу от одного ортонормированного базиса к другому, имеет ортогональную матрицу. Постараемся выяснить геометрический смысл таких преобразований.
Теорема 2. Ортогональное преобразование плоскости есть либо поворот, либо поворот с последующей осевой симметрией.
Доказательство. Пусть A : R2 → R2 — ортогональное преобразование плоскости. Было доказано, что ортонормированный базис i, j переходит снова в ортонормированный базис e1, e2. Изображая единичный вектор e1 произвольно, для e2 получаем две возможности:
Разложим векторы e1, e2 по базису i, j, чтобы найти матрицу преобразования A.
В первом случае:
Преобразование A является поворотом на угол φ против часовой стрелки.
|
