|
Преобразование является поворотом на угол φ и последующим отражением (симметрией) относительно оси, проходящей через начало координат параллельно вектору e1.
Теорема 3. Если линейная замена переменных
(x, у) = (x', y')S
имеет ортогональную матрицу S, то новая система координат X'OY' получена из XOY поворотом на некоторый угол, либо поворотом с последующей осевой симметрией.
Доказательство. Мы используем свойства ортогональных матриц,
рассмотренные в 7.5.2. Обозначим ... Так как ...
Во втором случае:
...; значит, существует угол φ такой, что cos φ = s11. Ясно, что тогда S12 = ± sin φ Так как аналогичное условие выполняется для столбца: ..., то и ... Из равенства получаем: S22 = ± cos φ. Учтём ещё одно соотношение в ортогональной матрице: ... В результате получим 4 возможности:
Матрица S1 определяет поворот системы координат на угол. Так как
...,
то S2 определяет поворот на угол —φ (то есть по часовой стрелке). Заметим, что ...
Представим матрицу S3 в виде произведения:
Матрица
(x, у)
задаёт симметрию относительно оси абсцисс:
|
