|
В точности так же ... Значит, S3, S4 определяют поворот с последующей симметрией.
8.2.2. Классификация уравнений 2-й степени
Рассмотрим квадратичную форму
Обозначим А =..., образованную слагаемыми 2-й степени в общем уравнении
Теорема 4. Если А > 0, то уравнение называется уравнением эллиптического типа и определяет эллипс или 1 точку.
Если А < 0, то уравнение — гиперболического типа, определяет гиперболу или 2 пересекающиеся прямые.
Если А = 0, то уравнение — параболического типа, определяет параболу, или 2 параллельные прямые, или 1 прямую.
Кроме того, при любом А уравнение может задавать пустое множество.
Доказательство. По теореме 15 из раздела 7.6, существует линейная замена переменных
с ортогональной матрицей Q, приводящая квадратичную форму к каноническому виду:
Напомним, что Q — матрица перехода от ортонормированного базиса системы координат XOY к ортонормированного базису, построенному из собственных векторов линейного преобразования, заданного матрицей
Определитель её матрицы.
Числа λ1, λ2 — характеристические числа этой матрицы. Так как
...
то, учитывая, что |Q| = ±1, получаем:
|
