|
Теперь — снова графически — выполним действия в правой части равенства. Сначала построим дополнения множеств A и B:
Строим объединение A U B:
Последняя диаграмма совпадает с диаграммой множества A ∩ B. Поэтому A ∩ B = A U B, что и требовалось доказать.
9. Используя определения операций, доказать, что для любых множеств A, B, C справедливо соотношение:
A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
Решение. Возьмём x ∈ A ∩ (B \ C). Тогда x ∈ A и x ∈ (B \ C). Значит, x ∈ B, x ∉ C. Отсюда следует, что x ∈ A ∩ B, x ∉ A ∩ C. Поэтому x ∈ (A ∩ B) \ (A ∩ C). Итак, любой элемент множества A ∩ (B \ C) содержится и во множестве (A ∩ B) \ (A ∩ C), т. е.
A ∩ (B \ C) ⊆ (A ∩ B) \ (A ∩ C).
Докажем обратное включение. Пусть x ∈ (A ∩ B) \ (A ∩ C). Тогда x ∈ A ∩ B (т. е. x ∈ A и x ∈ B) и x ∉ A ∩ C .Из соотношений x ∈ A, x ∉ A ∩ C следует, что x ∉ C. Но x ∈ B. Поэтому x ∈ (B \ C). Вместе с условием x ∈ A это позволяет заключить, что x ∈ A ∩ (B \ C). Итак, любой элемент множества в правой части равенства является элементом и левой части, т. е.
Теперь — снова графически — выполним действия в правой части равенства. Сначала построим дополнения множеств A и B:
Строим объединение A U B:
(A ∩ B) \ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B \ C).
|
