|
8.3. Классификация поверхностей 2-го порядка
Поверхность 2-го порядка — это поверхность, заданная в декартовой прямоугольной системе координат алгебраическим уравнением 2-й степени.
Как и в разделе 8.2, мы будем упрощать уравнение, переходя к новой системе координат. Таким образом будут найдены все возможные канонические уравнения поверхностей 2-го порядка. Форму этих поверхностей изучим в разделе 8.4.
Переход к новой системе координат будем проводить с помощью линейной замены переменных с ортогональной матрицей и с помощью параллельного переноса. Аналогично случаю плоскости можно доказать, что ортогональная замена переменных в пространстве приводит к повороту системы координат относительно некоторой оси и, возможно, отражению относительно плоскости.
Итак, по теореме 15 из раздела 7.6, квадратичная форма
приводится к каноническому виду с помощью ортогональной замены переменных. Числа A1, A2, A3 — характеристические числа матрицы квадратичной формы. В новой системе координат уравнение поверхности приобретает вид:
Рассмотрим несколько случаев.
Случай 1. Ранг матрицы A равен 3, т. е. все числа A1 ≠ 0.
Выделяя полные квадраты и проводя параллельный перенос, получим уравнение:
Подслучай 1.1. Числа Ai имеют одинаковые знаки. Имеются 3 возможности.
1.1.1. Свободный член = 0. Тогда уравнение определяет одну точку: x'' = y'' = z'' = 0.
1.1.2. Знак e совпадает со знаком A1. Тогда очевидно, что уравнение не определяет ни одной точки.
1.1.3. Знак e противоположен знаку A1. В этом случае уравнение можно записать так:
|
