|
Полученные нами два включения и означают равенство множеств.
10. Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5}. Рассмотрим множество
a = {(a, b) ∈ A2 | a + b ∈ A}.
Требуется задать a перечислением его элементов. Является ли a графиком какого-либо отображения A → A ?
Решение. Всего в декартовом произведении A х A имеется 25 упорядоченных пар чисел. Во множество a входят те из них, у которых сумма элементов есть число из A. Поэтому
a = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (2,1), (3,1), (4,1)}.
Графиком a не является, так как нарушены оба условия определения:
1) число 5 не является первым элементом ни одной пары;
2) в a содержатся пары (1, 2) и (1, 3), что для графика отображения невозможно.
11. Является ли множество a = {(x,y) ∈ R2 | 1 < у < 2} графиком какого-либо отображения?
Решение. Элементы a соответствуют точкам Yi плоскости, у которых вторая координата (т. е. ордината у) удовлетворяет неравенству 1 < y < 2. На плоскости эти точки образуют полосу шириной 1,
X параллельную оси OX.
Первое требование, предъявляемое к графику,
выполнено. Однако второе условие не выполнено. Поэтому графиком отображения a не является.
12. Проверить, что множество a = {(a, b) ∈ N2 | b — a = 3} является графиком отображения N → N. Исследовать это отображение на инъективность и сюръективность.
Решение. Множество a можно записать так:
Ясно, что первое условие выполнено. Если известно число a — первый элемент в паре, то b = a + 3 находится однозначно. Значит, и второе условие выполнено. Итак, a — график отображения f : N → N, f (a) = a + 3.
Проверим инъективность. Если f(ai) = b, f(a2) = b (т. е. ai + 3 = b, a2 + 3 = b), то ясно, что ai = a2. Поэтому f инъективно. Сюръективность не выполняется. Например, в a нет ни одной пары вида (a, 1), т. е. 1 не является образом какого-либо элемента при отображении f.
13. Исследовать на сюръективность и инъективность функцию (отображение) f, определённую на множестве действительных чисел R формулой y = 5x + 3.
|
