|
Рассмотрим сечение плоскостью у = 0. Получается парабола = z,
её ветви направлены вверх, вершина в точке (0, 0, 0).
Рассмотрим сечение плоскостью x = h. Это опять парабола:
Её ветви направлены вниз, вершина смещена по оси OZ на величину ...,
то есть находится в точке ... Заметим, что эта точка лежит на
параболе
Теперь, изменяя h, видим, что поверхность гиперболического параболоида состоит из парабол, расположенных в
плоскостях x = h, вершины которых находятся на параболе ...
Плоскости z = h пересекают гиперболический параболоид по гиперболам, расположение ветвей которых зависит от знака h: при h > 0 действительная ось гиперболы параллельна OX, при h < 0 действительная ось параллельна
OY. Плоскость z = 0 пересекает поверхность по двум прямым.
Гиперболический параболоид иногда называют седловидной поверхностью.
8.4.7. Поверхности вращения
Мы встречали поверхности вращения как частные случаи поверхностей 2-го порядка.
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть в плоскости YOZ имеется кривая L, заданная уравнением f(у, z) = 0. Выведем уравнение поверхности, образованной при вращении кривой L вокруг оси OZ. Возьмём точку M(x, у, z) на поверхности, проведём через неё плоскость, перпендикулярную OZ. Пусть она пересекает ось OZ в точке C(0, 0, z), линию L в точке N(0, ум, z). Тогда |CM| = |CN|. Или в координатах: ..., то есть
|
