|
3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки
A(4, 2), B(1, 3), C(6, 2).
Решение. Найдём центр окружности — он равноудалён от точек A, B, C. Поэтому центр находится на пересечении перпендикуляров, проведённых через середины отрезков AB и AC.
Построим перпендикуляры. Середина отрезка AB имеет координаты ... Вектор AB = (-3, 1). Поэтому общее уравнение прямой, проходящей через точку (2, 2 ), перпендикулярно AB, имеет вид (см. раздел 5.5):
Аналогично, середина AC имеет координаты (5, 0). Вектор AC = (2,-4). Поэтому перпендикуляр, проведённый к отрезку AC через его середину, имеет уравнение ...
Найдём точку пересечения:
Отсюда ...
Найдём радиус окружности — расстояние от центра до любой данной точки: ...
Итак, уравнение окружности:
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 25.
4. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси OX симметрично относительно начала координат, если известна его малая полуось и точка эллипса М.
Решение. Из условия следует, что эллипс в данной системе координат
имеет каноническое уравнение: ... Подставляя известную полуось
и координаты точки М, найдём а. Уравнение эллипса имеет вид:
5. Найти эксцентриситет эллипса, фокусы которого находятся в точках F1(-3, -5), F2(5,1), а малая полуось b = 12.
Решение. Найдём межфокусное расстояние:
Значит, его половина c = 5. Так как полуоси связаны с параметром c соотношением ... Значит, a = 13.
Находим эксцентриситет: ...
6. Составить уравнение гиперболы, если её вершины лежат на оси OX симметрично относительно начала координат, расстояние от вершины до
ближайшего фокуса равно 2, а одна из асимптот имеет уравнение y = x.
Решение. Из условия следует, что гипербола в данной системе координат имеет каноническое уравнение: ... В такой
системе координат асимптоты гиперболы имеют уравнения: ... Поэтому ...
|
