|
Решение. Проверим инъективность: если f(xi) = f(x2), т. е 5xi + 3 = = 5x2 + 3, то ясно, что xi = x2. Значит, f — инъективна. Проверим сюръек- тивность: Vy € R 3x € R : y = 5x + 3. Действительно, прообразом любого
y—3
y ∈ R является число. Итак, функция f является инъективной и
сюръективной, т. е. биективной.
14. Будет ли множество положительных действительных чисел R+ равномощным множеству всех действительных чисел R?
Решение. Рассмотрим показательную функцию y = 2х. Её область определения R. При любом x значение 2х > 0, все значения положительны. Любое положительное число y является значением показательной функции, т. е. она задает отображение R на R+ (сюръективное). Если xi = x2, то и 2х1 = 2х2, т. е. отображение инъективное.
Следовательно, функция y = 2х задает биективное отображение (взаимно однозначное соответствие) между множествами R и R+. Поэтому они равномощны.
15. Записать рациональное число — в виде десятичной дроби.
Решение. Выполним деление «уголком»:
На очередном шаге процесса деления в остатке второй раз оказалось число 4. Значит, далее цифры частного будут повторяться:
16. Записать рациональное число 0,1322 . . . в виде обыкновенной дроби.
Решение. Представим наше число в следующем виде:
0,1322 ... = 0,13 + 2(0,001 + 0,0001 + 0,00001 + ...).
Выражение в скобке представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Как известно из школьного курса, эту сумму можно вычислить по формуле:
|
