|
Выделяем полный квадрат:
Получили окружность в плоскости XOZ. При её вращении вокруг оси OZ получается поверхность, которая называется тор.
18. Определить вид поверхности, заданной уравнением 2-й степени
...
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы, входящей в уравнение:
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогональной замены переменных найдём характеристические корни:
Значит, λ1 = 1. Корни λ2, λ3 найдём, решая квадратное уравнение ... Получим λ2 = 5, λ3 = -4 (порядок корней не важен). Следовательно, после замены переменных, уравнение поверхности запишется так: ..., или в каноническом виде:
Эта поверхность — однополостный гиперболоид. В условии задачи не требуется определять его положение в пространстве. Для этого нужно было бы для каждого λ найти собственный вектор, построить ортонормированный базис из собственных векторов. В системе координат, связанной с этим базисом, однополостный гиперболоид и задаётся найденным каноническим уравнением.
|
