|
Для квадратной матрицы можно сказать, что транспонирование — это отражение относительно главной диагонали.
Теорема 1. Действия сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами (для любых матриц A, B, C, с которыми эти действия можно выполнить):
(A + B) + C = A + (B + C) — ассоциативность сложения;
A + B = B + A — коммутативность сложения;
(AB)C = A(BC) — ассоциативность умножения;
A(B + C) = AB + AC — дистрибутивность.
Доказательство теоремы 1 мы не приводим. Советуем читателю проверить эти свойства для квадратных матриц второго порядка: возьмите матрицы
и убедитесь, используя известные свойства сложения и умножения чисел, что результат вычислений в левой части каждого равенства совпадает с результатом вычислений в правой части. Вы тем самым не только докажете теорему 1 в частном случае, для матриц 2-го порядка, но и проверите своё умение выполнять действия с матрицами.
Следствие. Множество квадратных матриц одного порядка n с операциями сложения и умножения матриц образует кольцо.
Действительно, в теореме 1 утверждается справедливость четырёх аксиом кольца (см. раздел 1.3). Кроме этого, нулевая матрица является нейтральным элементом для сложения. Противоположным элементом для матрицы A = (aij) является, очевидно, матрица — A = (—aij). Итак, все аксиомы кольца выполняются.
2.2. Определители
Определитель — это число, которое по специальным правилам вычисляется для каждой квадратной матрицы. Определитель матрицы A будем обозначать так: | A |.
Иногда определитель обозначают символом detA и называют детерминантом, но мы будем пользоваться русским термином.
|
