|
Решение. Применим метод математической индукции. Так как
определителей порядка n — 1 утверждение справедливо. Разложим ДП по первому столбцу и, используя предположение, вычислим:
Замечание. Матрица, у которой ниже главной диагонали все элементы равны 0, называется треугольной. В примере 6 показано, что определитель любой треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали. В частности, | E |= 1.
Свойство 2. При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется.
Доказательство. Проведём доказательство методом математической индукции по порядку определителя n. Для n = 2 свойство легко проверяется:
Предположим, что свойство 2 справедливо для определителей, порядок которых меньше n. Пусть A — матрица порядка n. Будем обозначать Mj — миноры матрицы A, Nj — миноры матрицы AT. Например:
Теперь заметим, что определители (n — 1)-го порядка Mj и Nji переходят друг в друга при транспонировании. Значит, по предположению индукции, они равны: Mij = Nji.
Разложим определитель |A| по первой строке, а определитель |AT| по первому столбцу:
Так как мы уже знаем, что Mii = Nii, Mi2 = N2i, • • •, Min = Nni, то отсюда получаем |A| = |AT|, что и требовалось.
|
