|
Замечание. Свойство 2 позволяет все свойства строк определителя переносить и на столбцы. Дальнейшие свойства будем рассматривать для строк, хотя они справедливы и для столбцов.
Свойство 3. Если в определителе поменять местами 2 строки, то он сменит знак.
Доказательство. Сначала индукцией по порядку определителя n докажем утверждение для соседних строк. Пусть
Разложим каждый определитель по 1-му столбцу, обозначая Mij - миноры |A|, а Nji — миноры |B|.
По предположению индукции каждое слагаемое в разложении |B| (кроме i-го и (i + 1)-го) отличается лишь знаком от соответствующего слагаемого в разложении |A|. (Например, Nii — определитель (n — 1)-го порядка, полученный перестановкой соседних строк. Значит, по предположению, Далее, это просто один и тот же определитель. Поэтому слагаемые отличаются лишь знаком. Следовательно, |B| = —|A|.
Теперь попробуем переставить i-ю и j-ю строки в определителе
Сначала поднимем j-ю строку на место i-й — для этого потребуется j —i перестановок с соседней строкой. Затем i-ю строку опустим на j-е место
|
