|
— для этого нужно ещё j — i — 1 перестановок. Всего потребуется (j — i) + +(j — i — 1) = 2(j — i) — 1, т. е. нечётное число перестановок. При каждой такой перестановке знак определителя меняется. Значит, после нечётного числа перестановок он будет изменён.
Следствие. Если в определителе есть 2 одинаковые строки, то он равен нулю. Действительно, переставляя одинаковые строки, мы ничего не меняем. С другой стороны, определитель должен сменить знак, т. е. |A| = — |A|. Значит |A| = 0.
Свойство 4. Определитель можно вычислить, разлагая его по любой строке:
Доказательство. Переставим i-ю строку на место 1-й, не меняя порядка остальных строк (1-я строка становится 2-й и т. д.). Получим определитель
Разложим |B| по первой строке. Заметим, что вычёркивая 1-ю строку и j-й столбец, мы получаем минор определителя |A|. Поэтому
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Свойство 2 показывает, что определитель можно вычислить, разлагая его не только по любой строке, но и по любому столбцу. Какой же способ выбрать? Конечно, наиболее простой. Обычно разлагают по строке (или столбцу), где имеется больше всего нулей.
Пример 7. Вычислим определитель 4-го порядка:
|
