|
Мы стали вычислять определитель, разлагая его по 3-му столбцу, потому что в нём 2 нуля, и нам не пришлось вычислять A23 и A33. Миноры 3-го порядка вычислялись с помощью разложения по строкам: M13 — по 3-й строке, M43 — по 1-й строке. Заметим также, что при вычислении A43 мы сменили знак перед минором, так как 4 + 3 = 7 — число нечётное.
Свойство 5. Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.
Доказательство. Возьмём произвольный определитель |A| и заменим в нём j-ю строку так, чтобы она совпадала с i-й. Полученный определитель равен 0, так как имеет одинаковые строки:
Разложим определитель по j-й строке:
Алгебраические дополнения здесь те же, что в |A|, так как при их вычислении изменённая j-я строчка вычёркивается. Мы доказали требуемую формулу.
Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Доказательство. Прибавим к элементам i-й строки определителя |A| элементы его j-й строки, умноженные на Л; полученный определитель обозначим |B|:
|
