|
2.3. Обратная матрица
Пусть A — квадратная матрица. Обратной к ней называется такая матрица A-1, что A A-1 — A-1A = E (единичная).
По свойству 7 определителей, поэтому. Значит, если |A| = 0, то для такой матрицы обратную найти невозможно. Матрицы A, у которых |A| = 0, называются вырожденными. Если же |A| ≠ 0, то матрица называется невырожденной.
Научимся находить обратную для невырожденной матрицы. Для этого построим матрицу A*, составленную из алгебраических дополнений:
алгебраическое дополнение к элементу aij, т. е. минор с учётом знака.
Здесь Aij алгебраическое дополнение к элементу aij,
Теорема 2. Если A — невырожденная квадратная матрица, |A| = Δ ≠ 0, то для неё существует обратная матрица, которую можно найти по формуле:
Доказательство. Заметим сначала, что все действия в этой формуле нам известны: нужно составить матрицу A* из алгебраических дополнений, транспонировать её, а затем умножить на число 1/Δ. Проверим, что таким образом построенная матрица является обратной к A. Чтобы не писать громоздких формул, проверку проведём только для матриц
Проверим, что A A-1 = E:
|
