|
Пришлось «разорвать» матрицу, она не помещается в строке.
Рассмотрим внимательно элементы полученной матрицы. Сначала рассмотрим левый верхний элемент — он равен определителю матрицы А,
так как это — формула разложения определителя по 1-й строке. Аналогично этому и другие элементы, стоящие на главной диагонали, равны А (формула разложения по 2-й строке), (формула разложения по 3-й строке).
Все остальные элементы полученной матрицы равны 0 по свойству 5 (раздел 2.2), так как каждый из них есть сумма произведений элементов какой-нибудь строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки. Например, так как элементы 1-й строки умножаются на алгебраические дополнения к элементам 2-й строки.
Если умножать в другом порядке, то тоже получим E: A-1 A = E. Не будем это делать подробно — все рассуждения те же самые, только вместо свойств строк определителей используются свойства столбцов. Теорема доказана.
Замечание. Для невырожденной матрицы A имеется только одна обратная матрица A-1 — та, которую мы построили. Действительно, если В — какая-либо другая матрица со свойством:
2.4. Ранг матрицы
В разделах 2.2, 2.3 рассматривались только квадратные матрицы. Здесь мы откажемся от этого требования. Пусть A — матрица размером m х n. Возьмём число k (k < m, k < n) и отметим в матрице A какие-либо k строк и какие-либо k столбцов. Из элементов, стоящих на их пересечениях, составим определитель. Он называется минором k-го порядка матрицы A.
|
