|
Однако это — частный случай матрицы трапециевидной формы. Матрица не имеет трапециевидной формы, так как в ней а22 = 0
Теорема 3. Ранг матрицы трапециевидной формы равен числу её ненулевых строк.
Доказательство. Как и в примере 11, б), рассмотрим минор порядка k, стоящий в левом верхнем углу:
В то же время любой минор большего порядка (если такой в этой матрице найдётся) равен нулю, так как содержит нулевую строку. Значит, r(A) = k. Теорема доказана.
Теперь научимся приводить любую матрицу к трапециевидной форме, не меняя её ранга. Для этого используются так называемые элементарные преобразования:
1) перестановка строк;
2) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;
3) перестановка столбцов;
4) преобразование столбцов, аналогичное указанному в пункте 2).
С этими преобразованиями мы уже встречались, изучая свойства определителей. Вспомним, что преобразования 2) и 4) не меняют величину определителя, а перестановки строк или столбцов могут лишь изменить знак. В частности, если определитель не равен нулю, то и после таких преобразований он не будет равен нулю. На основе этих рассуждений можно было бы доказать следующую теорему, но мы приводим её без доказательства.
Теорема 4. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.
А теперь научимся с помощью элементарных преобразований приводить любую матрицу к трапециевидной форме. Ранг при этом не меняется, а у трапециевидной матрицы он вычисляется очень просто. Значит, у нас будет метод вычисления ранга матрицы.
переставим строки или столбцы так, чтобы на месте (1,1) стоял ненулевой элемент. Если же а11 = 0, то добьёмся, чтобы остальные элементы первого
|
