|
Случай 1. Полученная матрица имеет вид:
где b — 0. Соответствующая система уравнений несовместна, так как содержит уравнение: 0 — b. Значит, несовместна и исходная система.
Заметим, что в этом случае ранг основной матрицы (он равен r) меньше, чем ранг расширенной матрицы (r + 1).
Случай 2. Возможно, что r = n, т. е. ранг основной (и расширенной) матрицы совпадает с количеством неизвестных. В этом случае матрица приобретает такую трапециевидную форму:
Из уравнения, соответствующего последней ненулевой строке, можно найти значение одной из неизвестных. Затем, поднимаясь вверх, по очереди найдём значения всех остальных неизвестных. Значит, в этом случае система имеет единственное решение.
Случай 3. Пусть, наконец, r < n. Матрица принимает вид:
В этом случае система имеет бесконечно много решений. Неизвестные, соответствующие первым r столбцам, назовём базисными, а остальные — свободными. Свободные неизвестные могут принимать любые значения. Значения базисных неизвестных однозначно определяются через значения свободных, начиная с последнего уравнения и поднимаясь вверх. В результате получаются формулы, выражающие базисные неизвестные через значения свободных неизвестных, — это и есть общее решение системы уравнений.
Пример 16. Решить систему уравнений:
|
