Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком ∅. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Пример 2. Перечислим все подмножества множества M = {а, b, c}. Их 8 штук: ∅, {а}, {b}, {c}, {а, b}, {а, c}, {b, c}, {а, b, c}.
Перейдём к определению действий (операций) над множествами.
Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, состоящее из элементов, входящих и в A, и в B:
A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.
Объединением множеств A и B называется множество A U B, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A, B. Можно записать так:
A U B = {x | x ∈ A или x ∈ B},
имея в виду «неразделительное или», т. е. в A U B входят и элементы A ∩ B.
Разностью A \ B называется множество тех элементов A, которые не входят в B:
A \ B = {x | x ∈ A,x ∉ B}.
Дополнением к множеству A называется множество A, состоящее из элементов, не входящих в A:
A' = {x | x ∉ A}.
Конечно, в A нельзя включать любые предметы, не являющиеся элементами A. Работая, например, с числовыми множествами, глупо было бы включать в дополнение деревья в лесу или книги на полке. Поэтому всегда считают, что все множества, участвующие в решении данной задачи, являются подмножествами некоторого общего, универсального множества U. Тогда дополнение A можно определить так: A' = U \ A.
Операции над множествами можно наглядно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна:
|