|
ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Для изучения свойств геометрических фигур на плоскости и в трёхмерном пространстве математиками были созданы простые математические модели. Затем оказалось, что эти модели легко можно обобщить и рассматривать n-мерные пространства. При этом сложность рассуждений почти не увеличивается. Многомерные линейные пространства применяются уже не только в геометрии, но во многих областях математики и её приложениях. В качестве начального примера мы рассмотрим векторы на плоскости. Более обстоятельно векторная алгебра изучается в следующей, 4-й главе.
3.1. Бекторы на плоскости
Направленный отрезок называется вектором. Точка A — начало вектора, точка B — конец вектора. Такой вектор будем обозначать символом AB. Если не обязательно указывать начало и конец, то можно обозначать вектор одной буквой: a, b и т.д.
Расстояние между началом и концом называется длиной (или модулем) вектора и обозначается так: |AB|. Если начало и конец совпадают, то вектор называется нулевым и обозначается 0. Ясно, что |0| = 0. Направление нулевого вектора не определено, его можно считать параллельным любому другому вектору.
Будем считать, что векторы AB и CD равны, если у них одинаковые длина и направление. Другими словами, если отложить эти векторы из одной точки, то они полностью совпадут. При таком понимании равенства векторов говорят, что изучаются свободные векторы. В других случаях вектор можно переносить вдоль своего направления (скользящий вектор), или точка приложения для вектора фиксируется (связанный). Мы будем рассматривать только свободные векторы.
Векторы a, b называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Обозначение: a || b. Направления коллинеарных векторов могут совпадать или быть противоположными.
|
