|
Таким образом, в параллелограмме, построенном на векторах a, b, одна диагональ изображает сумму a + b, а другая — разность a — b (или b — a, в зависимости от выбранного направления).
Векторы bi, b2, ..., bn называются линейно зависимыми, если существуют числа a1, a2, ..., an такие, что
a1 b1 + a2 b2 + ... + anbn = 0,
причём не все ai равны 0. Если же это соотношение возможно только при
a1 = a2 = ... = an = 0, то векторы b1, b2, ..., bn называются линейно
независимыми.
Теорема 1. Два вектора линейно зависимы ⇔ они коллинеарны.
Доказательство. Пусть векторы a, b линейно зависимы, т. е.
действительно, направления совпадают (берём «+», если a ↑↑ b, и «—», если
a ↑↓ b). Длины тоже равны.
Теорема доказана.
Замечание. Ясно, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на некоторое число.
Теорема 2. Если e1, e2 — неколлинеарные векторы, то любой вектор a ∈ R2 можно представить в виде линейной комбинации векторов e1, e2, т. е. в виде
a = a1e1 + a2e2.
Доказательство получим с помощью рисунка. Проведём из конца вектора a = AB прямые, параллельные e1 и e2. Ясно, что AB = AC + AD. Но AC || e1, поэтому существует число a1 такое, что AC = a1e1. Аналогично, получаем: AB = a = a1e1 + a2e2. Теорема доказана.
Из теоремы 2 следует, что любые 3 (или большее количество) вектора на плоскости линейно зависимы. Два неколлинеарных вектора e1, e2 на плоскости называются базисом. Числа a1, a2 такие, что a = a1e1 + a2e2, называются координатами вектора a в базисе e1, e2.
|
