|
Наглядный пример линейного пространства — множество R2 векторов на плоскости с операциями, введёнными в разделе 3.1 (действительно, справедливость всех аксиом 1-8 мы проверили).
Элементы произвольного линейного пространства часто также называют векторами, это не приведёт нас к путанице. В отличие от векторов элементы поля R, т. е. действительные числа, называют скалярами. Рассмотрим ещё раз приведённые 8 аксиом. Первые две из них говорят о том, что сложение должно быть ассоциативным и коммутативным. Аксиома 3 требует существования в L нейтрального элемента — нуля. Чтобы не смешивать его с действительным числом 0, нуль в пространстве L обозначают 0. В аксиоме 4 говорится о существовании противоположного элемента. Свойства 5 и 6 — это дистрибутивность умножения на число относительно различных сложений. Свойство 7 можно назвать ассоциативностью умножения на число. Наконец, свойство 8 требует, чтобы умножение на число 1 не изменяло элемент пространства.
Получим простые следствия из аксиом 1-8, которые позволят нам применять при работе с элементами линейных пространств некоторые привычные правила. Обратите внимание: каждый шаг при доказательстве этих следствий это использование какой-либо аксиомы.
Следствие 1. Нейтральный элемент в любом линейном пространстве L только один.
Доказательство. Допустим, 01, 02 — нейтральные элементы. Тогда...
Мы воспользовались коммутативностью.
Следствие 2. Противоположный элемент для вектора x существует только один.
Доказательство. Допустим, что x + y = 0, x + z = 0, т. е. y, z — противоположные элементы для x. Тогда
y + (x + z) = y + 0 = y, (y + x) + z = (x + y) + z = 0 + z = z.
Но левые части совпадают (по аксиоме ассоциативности). Поэтому y = z.
Единственность противоположного элемента позволяет ввести вычитание:
|
