причём ясно, что ...
Следствие 3.
Доказательство. Пусть x ∈ L. Тогда ax = a(x + 0) = ax + a0. Перенесём ax из правой части в левую с обратным знаком. Это привычное действие выполнимо в линейном пространстве — надо лишь прибавить к обеим частям равенства противоположный вектор (—ax):
ax — ax = ax + (—ax) = a0 + ax + (—ax) = a0.
Отсюда следует, что a0 = 0.
Следствие 4.
Доказательство. Пусть a ∈ R. Тогда ax = (a + 0)x = ax + 0x. Переносим ax в левую часть и получаем: 0x = ax — ax = 0.
Следствие 5.
Доказательство. Так как ax + (—a)x = (a + (—a))x = 0, то элемент (—a)x — противоположный для ax. Аналогично проверяется, что a(— x) также является противоположным для ax.
Пример 1. Пусть Mmn — множество матриц размером mxn. Сложение таких матриц, умножение на число определены выше. Роль нейтрального элемента играет нулевая матрица. Ясно, что все аксиомы выполнены. Значит, Mmn с указанными операциями является линейным пространством.
Пример 2. Пусть F(x) — множество всех функций, определённых на некотором множестве действительных чисел и принимающих действительные значения. Результат сложения двух функций — снова функция:
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2 (x). Аналогично определяется умножение функции на число.
Аксиомы легко проверяются. В частности, нейтральным элементом является функция 0(x), все значения которой равны 0. Итак, F(x) — линейное пространство над полем R.
Введём понятие линейного подпространства. Подмножество L1 линейного пространства L называется линейным подпространством, если оно замкнуто относительно операций пространства L.
Из этих условий следует, что 0 содержится в любом подпространстве. Действительно, по следствию 4, 0x = 0. Значит, если x ∈ Li, то 0x = 0 также входит в L1.
|