|
Кроме того, подпространство содержит противоположный элемент для каждого своего элемента: если x ∈ L1, то -x ∈ L1, так как, по следствию 5, -x = (-1)x.
Остальные аксиомы выполняются для всех элементов L, а значит, в частности, и для элементов L1. Поэтому подпространство L1 само является линейным пространством.
Пример 3. Является ли линейным пространством множество Dn диагональных матриц порядка n относительно обычных операций сложения матриц и умножения на число? Так как Dn — подмножество в линейном пространстве Mn всех матриц порядка n, то аксиомы выполнены, нужно проверить лишь замкнутость относительно операций. Но сумма диагональных матриц — снова диагональная матрица, произведение диагональной матрицы на число — тоже является диагональной матрицей. Итак, Dn — линейное пространство (подпространство в Mn).
3.3. Базис и размерность пространства
Пусть L — линейное пространство над R, x1, x2, ..., xn ∈ L, a1, a2,..., an ∈ R. Вектор a1x1 + a2x2 + ... + anxn называется линейной комбинацией векторов x1, x2, ..., xn. Числа a1, ..., an называются коэффициентами.
Конечная система векторов x1, x2, ..., xn называется линейно зависимой, если существуют числа a1, a2, ..., an, не все равные нулю, такие, что
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0. (*)
Если же из равенства (*) следует, что все a1 = 0, то тогда система x1, x2, ..., xn называется линейно независимой. Бесконечная система векторов называется линейно зависимой, если в ней существует конечная линейно зависимая подсистема.
Пример 4. Рассмотрим множество
R3 = { (a1,a2,a3) | ai ∈ R },
состоящее из упорядоченных троек действительных чисел. Операции сложения и умножения на число определяются поэлементно — так же, как и для матриц. (Фактически R3 — множество матриц-строк). В полученном линейном пространстве найдём примеры линейно зависимых и линейно независимых систем. Рассмотрим x1 = (1, 2, 3), x2 = (3, 2, 5), x3 = (8, 8,16). Тогда x1, x2, x3 — линейно зависимые, так как 2x1 + 2x2 - x3 = 0. В то же время векторы e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e3 = (0, 0,1) линейно независимы: из соотношения a1e1 + a2e2 + a3e3 = 0 следует, что
|
