|
Лемма 1. Система векторов линейно зависима ⇔ один из них линейно выражается через остальные (т. е. является их линейной комбинацией).
Доказательство. Пусть x1, x2, ..., xn — линейно зависимы, т. е. a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0. Тогда...
Значит, ...
что и требовалось.
Обратно: предположим, что ... Тогда
xi, x2, ..., xn линейно зависимы.
Лемма 2. Система векторов линейно зависима ⇔ какой-либо из них
линейно выражается через предыдущие.
Доказательство. Пусть a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0. Обозначим ak —
последний ненулевой коэффициент. Значит a1x1 + a2x2 + ... + akxk = 0
т.е. линейно выражается через
предыдущие. В обратную сторону доказательство содержится в лемме 1.
Система векторов e1, e2, ..., en называется базой линейного пространства L, если она линейно независима и любой вектор x ∈ L линейно выражается через e1, e2, ..., en.
Замечание. Из леммы 1 следует, что база — это максимальная линейно независимая система. Если в пространстве существует конечная база, то оно называется конечномерным.
Теорема 3. Все базы в конечномерном линейном пространстве L состоят из одного и того же числа векторов. Это число называется размерностью пространства L.
Доказательство. Пусть e1, e2, ..., en — база в L. Допустим, что имеется другая база, с большим числом векторов: x1, x2, ..., xm; m > n. Рассмотрим систему векторов: ...
Так как e1, ..., en — база, то xi выражается через e1, ..., en. По лемме 1, эта система линейно зависима. По лемме 2, какой-то вектор ei линейно выражается через предыдущие. Вычеркнем его: ...
Через эти векторы линейно выражается любой вектор из L, в частности x2. Действительно, в его записи через базу e1, e2, ..., en можно заменить ei на линейную комбинацию. Значит, система
|
