|
линейно зависима. По лемме 2, какой-либо вектор ej линейно выражается через предыдущие. Вычеркнем его, добавим впереди x3 и продолжим те же рассуждения. (Заметим, что вычёркиваются векторы только из e1, ..., en, так как никакой вектор xi не может быть выражен через предыдущие, потому что x1, x2, ..., xm линейно независимы). После n шагов получим систему,
через которую выражается любой вектор пространства. Если m > n, то это противоречит тому, что x1, x2, ..., xm — линейно независимы. Значит, m = n. Теорема доказана.
База линейного пространства, записанная в определённом порядке, называется базисом (или координатной системой).
Пусть e1, e2, ..., en — базис в L, x — произвольный элемент L. Тогда x можно представить в виде линейной комбинации, или, как говорят, разложить по базису:
x = a1e1 + a2e2 + ... + anen.
Заметим, что такое разложение единственно...
Числа a1, a2,..., an называются координатами вектора x в базисе e1, e2, ..., en. Координатную строку вектора x в базисе e1, e2, ..., en будем обозначать так:
[x]e = (a1, a2, ..., an).
Как связаны между собой координаты x в разных базисах? Пусть e1, ..., e'n — другой базис в L. Каждый из векторов ei можно разложить по базису e1, e2, ..., en:
Матрица S = (sj) называется матрицей перехода от базиса e1, e2, ..., en к базису ei, e'2, ..., en.
Теорема 4. ∀x ∈ L справедливо:
|
