(Здесь в правой части равенства — умножение матрицы-строки длины n на квадратную матрицу n х n).
Доказательство. Обозначим:
[x]e = (a1, a2 , . . . , an). Проведём вычисления:
С другой стороны,
Сравнивая полученные выражения, видим: ...
Следствие. Матрицей перехода от базиса e1, e2, ..., en к базису ... является S—1. В частности, матрица перехода всегда невырождена.
Доказательство. Пусть S — матрица перехода от e1, e2, ..., en к базису ...; T — матрица обратного перехода. Тогда, по теореме 4:
Отсюда следует: ... В частности, при x = e1 имеем: ... и, проводя умножение в правой части, видим, что первая строка матрицы имеет вид (1, 0,..., 0).
Аналогично, при x = e2: ..., и после умножения получаем, что вторая строка ... имеет вид (0, 1, 0,..., 0). Продолжая эти действия, убедимся, что TS = E — единичная матрица. Поэтому T = S—1.
3.4. Важные примеры линейных пространств
Обобщая пример 4 раздела 3.3, рассмотрим множество Rn = | (a1,a2,...,an) | ai ∈ R },
состоящее из строк длины n. Определим сложение строк и умножение строки на число так, как это сделано для матриц:
|