|
Полученное линейное пространство имеет размерность n, так как векторы e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0,1,..., 0), ..., en = (0, 0,..., 1) образуют, очевидно, базис.
Значение этого примера состоит в том, что любое n-мерное линейное пространство, как говорят, изоморфно Rn, т. е. операции в них обладают одними и теми же свойствами. Уточним сказанное. Пусть L — n-мерное линейное пространство над R. Пусть v1, V2, ..., vn — какой-либо базис в L. Тогда каждый элемент x ∈ L однозначно записывается в виде: x = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. Координатную строку [x]v = (a1, a2,..., an) можно рассматривать как элемент Rn. Мы получаем взаимно однозначное (биективное) отображение,
обладающее, как легко заметить, свойствами:
p(x1 + x2) = p(x1) + p(x1), p(Ax) = Ap(x).
Такое отображение называется изоморфизмом. Пространства, между которыми установлен изоморфизм, с точки зрения алгебры считаются неотличимыми. Это связано с тем, что алгебра изучает свойства алгебраических операций и не изучает свойства элементов множества, образующего пространство. Вспомните: в определении линейного пространства ничего не говорится о природе множества, требуемые восемь свойств — это свойства операций сложения и умножения на число. Итак, справедлива
Теорема 5. Любое n-мерное линейное пространство изоморфно пространству строк Rn.
В начале главы мы рассмотрели линейное пространство R2 направленных отрезков на плоскости. В теореме 2 было доказано, что любые 2 неколлинеарных вектора образуют в нём базис, т. е. R2 имеет размерность 2. Переход от направленных отрезков к координатной записи векторов — это фактически использование изоморфизма линейных пространств R2 и R2 (пространство строк длины 2).
Ещё одним важным примером линейного пространства является пространство решений однородной системы линейных уравнений. Рассмотрим систему уравнений... Такая система называется однородной. Удобно записывать её в
|
