|
матричном виде:
Теорема 6. Решения однородной системы уравнений образуют линейное пространство.
Доказательство. Решения системы — это столбцы чисел, т. е. матрицы размером n х 1. Сложение и умножение на число для них определены и обладают всеми требуемыми свойствами. Проверить нужно лишь замкнутость множества решений относительно этих операций. Но это легко: если X1, X2 — решения, т. е. AX1 = 0, AX2 = 0, то и A(X1 + X2) = = AX1 + AX2 = 0 + 0 = 0. Значит, X1 + X2 — решение. Значит, AXl — тоже решение.
Теорема 7. Если в однородной системе уравнений n неизвестных, ранг основной матрицы равен r, то размерность пространства решений равна n — r.
Доказательство. Будем решать систему уравнений AX = 0 методом Гаусса. Пусть x1, ..., xr — базисные неизвестные, xr+1, ..., xn — свободные.
Дадим свободным неизвестным значения: xr+1 = 1, xr+2 = 0, ..., xn = 0, найдём соответствующие значения базисных. Полученное решение обозначим Ci.
Затем, полагая xr+1 = 0, xr+2 = 1, ..., xn = 0, найдём C2.
Поступая аналогично, построим n — r решений:
Докажем, что C1, C2, ..., Cn—r образуют базис в пространстве решений. Допустим, что a1C1 + a2C2 +... + an—r Cn—r = 0. Выполняя действия
|
