|
в левой части, получаем:
Значит, a1 = a2 = ... = an—r = 0, т. е. C1, C2, ..., Cn—r линейно
независимы. Пусть теперь C — произвольное решение... Действительно, и в левой, и в правой части последнего равенства мы имеем решения, соответствующие одинаковым значениям свободных неизвестных. Значит, совпадают и значения базисных неизвестных. Теорема доказана.
Следствие. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда r < n, т. е. ранг основной матрицы меньше числа неизвестных.
Доказательство. Если r = n, то свободных неизвестных нет, а значит система имеет единственное решение — нулевое. Если r < n, то есть свободные неизвестные, поэтому существуют ненулевые решения.
Базис пространства решений однородной системы уравнений называется фундаментальной системой решений.
Пример 5. Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:
Решение. Выпишем матрицу системы, приведём её к трапециевидной форме. Нулевой столбец свободных членов можно не писать.
Так как n = 4, r = 2, то система имеет ненулевые решения, размерность пространства решений n — 2 = 2. Неизвестные x1, x2 — базисные;
|
