Рассмотрим отображение:
Проверим выполнение условий. Тогда
Пусть Y ∈ R. Тогда A(YX) = A(Ya1e1 + Ya2e2 + Ya3e3) = Yaiei = YA(X). Условия 1), 2) выполнены. A — линейное преобразование, оно называется проецированием (на ei).
Пример 9. Пусть e1, e2 — базис в L, т. е. L — двухмерное линейное пространство. Рассмотрим произвольную матрицу размером 2 х 2:
Определим отображение:
Легко проверить, что условия 1), 2) выполнены. Итак, любая квадратная матрица позволяет построить новый пример линейного преобразования.
Замечания. Если A — линейное преобразование L, то A(0) = 0, т. е. нулевой вектор всегда переходит в себя. Действительно, имеем:
Линейное преобразование полностью определяется образами базисных векторов. Раскладывая любой x по базису, найдем его образ:
Образы базисных векторов можно задать произвольно. Другими словами, для любых x1, x2, ..., xn существует линейное преобразование A, такое, что ...
3.5.2. Матрица линейного преобразования
Пусть L — линейное пространство; e1, e2, ..., en — базис в L, A — линейное преобразование L. Как и любые другие, векторы
|