Следовательно, матрица преобразования A — это определяющая его
Итак, каждому линейному преобразованию соответствует матрица (в данном базисе). Пример 9 наглядно показывает, что и наоборот, зная матрицу, можно построить преобразование. Получаем взаимно однозначное соответствие.
Индекс e здесь напоминает, что в построении матрицы участвует некоторый фиксированный базис e1, е2, ..., en.
Теорема 8. Если линейное преобразование A : L → L имеет матрицу Ae, то координаты любого вектора x е L преобразуются по правилу:
Доказательство. Пусть x = x1e1 + x2e2 +... + xnen. Тогда...
Значит, координатная строка вектора A(x) имеет вид:
(x1a1i + x2a2i + ... + xnani, xiai2 + x2a22 + ... + xnan2,...,
..., xiain + x2a2n + ... + xnann).
Но эту же строку получим в результате умножения (x1,..., xn)Ae. Теорема доказана.
3.5.3. Действия с линейными преобразованиями
Пусть A, B — линейные преобразования пространства L. Их суммой называется отображение A + B, такое, что
(A + B) (x) = A(x) + B(x).
Их произведением называется отображение AB, такое, что
|