|
Если b ∈ R, то произведением A на число b называется отображение:...
Теорема 9. Если A, B — линейные преобразования, то A + B, AB, в A — тоже линейные преобразования.
Доказательство. В каждом случае нужно проверить выполнение условий 1), 2) определения линейного преобразования. Выполним это, например, для AB.
(AB)(x + y) = B(A(x + y)) = B(A(x) + A(y)) =
= B(A(x)) + B(A(y)) = (AB)(x) + (AB)(y);
(AB)(ax) = B(A(ax)) = B(aA(x)) = aB(A(x)) = a(AB)(x).
Аналогично проводится проверка для A + B, в A.
Теорема 10. Зафиксируем базис в L. Если A, B — матрицы линейных преобразований A, B, то матрицами преобразований A + B, AB, вA являются A + B, AB, вА соответственно.
Доказательство проведём для AB (остальное — проще). Пусть A = (aij), B = (bij). Как всегда, когда нужно построить матрицу линейного преобразования, находим образы базисных векторов:
В результате видим, что первая строка матрицы преобразования AB совпадает с первой строкой произведения матриц AB. Аналогично проверяется равенство других строк.
3.5.4. Изменение матрицы преобразования при переходе к другому базису
Пусть A — линейное преобразование пространства L, e1, ..., en и e1, ..., en — базисы в L. (Можно для краткости обозначить эти базисы e и e', не забывая, конечно, что каждый из них состоит из n векторов). Как связаны между собой матрицы преобразования A в различных базисах?
|
