|
Теорема 11. Если S — матрица перехода от базиса e к базису e', то
Ae' = S Ae S .
Доказательство. Понятие матрицы перехода изучалось в разделе 3.3. Там же доказано, что [x]e = [x]e' S. Значит, и [A(x)]e = [A(x)]e' S. В теореме 8 установлено правило преобразования координат вектора под действием A:
[x]e Ae = [A(x)]e , [x]e' Ae' = [A(x)]e' . Отсюда получаем: [x]e Ae = [A(x)]e = [A(x)]e' S = [x]e' Ae'S. C другой стороны: [x]e A
e — [x]e' SAe. Поэтому
[x] e' Ae' S = [x] e' SAe
для любого вектора x. Отсюда легко заключить, что Ae'S = SAe. (Например, подставляя вместо x базисные векторы el, ..., en.) Умножая последнее равенство на S-i справа, получим требуемое: Ae' = SAeS-i. Теорема доказана.
Замечание. Матрицы A, B называются подобными, если существует невырожденная матрица C, такая, что...
Используя этот термин, можно сказать, что матрицы линейного преобразования в различных базисах подобны.
3.6. Собственные векторы и собственные значения
Рассмотрим квадратную матрицу A = (aij). Составим для неё определитель следующего вида:
Кроме чисел, этот определитель содержит переменную величину x. Поэтому, вычисляя определитель по обычным правилам, мы получим не число, а многочлен от x. Он называется характеристическим многочленом матрицы A.
Теорема 12. Если матрицы A и B подобны, то их характеристические многочлены совпадают.
|
