|
Доказательство. Пусть A = SBS . Пользуясь свойствами действий с матрицами, вычислим:...
Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то получаем требуемое:
Следствие. Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобны, то их характеристические многочлены совпадают. Значит, можно говорить о характеристическом многочлене линейного преобразования. Его корни называются характеристическими числами. Множество корней такого многочлена называется спектром линейного преобразования.
Пример 10. Пусть R2 — линейное пространство векторов на плоскости, рассмотренное выше. Выберем на плоскости произвольную точку O (начало координат) и отложим из неё векторы ортонормированного базиса i, j. Через каждый вектор проведём прямую — координатную ось.
Рассмотрим линейное преобразование A : R2 → R2, A — проецирование на ось OX. Найдем матрицу A в базисе i, j :
Характеристический многочлен преобразования A в Y
|
